쿨리?튜키(Cooley?Tukey) 알고리즘에서 복소평면의 단위원(회전 인자, twiddle factor) 성질을 이용한 FFT(고속 푸리에 변환) 계산량 절감 원리 및 DFT 대비 성능 검증
- 자료 유형
- 실제 탐구보고서
- 합격 정보
- 서울대 첨단융합학부
- 활동 유형
- 세부능력 및 특기사항
- 교과 과목
- 고급수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 프로그래밍
- 탐구 키워드
- 코딩
2026-06-11
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내용 요약
DFT를 그대로 계산하면 필요한 연산이 O(N^2) 수준으로 커져 큰 데이터에서 비효율적이라는 문제의식에서 출발함.
입력 신호를 짝수항/홀수항으로 분할해 부분 DFT로 재귀적으로 쪼개는 쿨리?튜키 구조를 수식으로 전개하고, 회전 인자 (W_k=e^{-i2\pi k/N})를 복소평면의 회전(단위원)로 해석해 재사용·대칭성을 끌어냄.
그 결과 각 단계가 O(N)이고 단계 수가 log_2 N이어서 전체가 O(Nlog N)으로 감소함을 정리함.
Python으로 DFT/FFT를 각각 구현해 시간 비교를 수행했고, 길이 5000 데이터에서 DFT 약 30.6초 vs FFT 약 0.07초로 약 400배 차이를 확인함.
복소평면 관점(회전 인자)을 통해 “왜 FFT가 빠른지”를 계산 구조로 설명하고 실측 결과로 검증했다는 점에서 의의가 있음.
탐구 보고서 전문
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